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By Henri Lombardi, Claude Quitté

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Nous faisons maintenant une analyse détaillée de ce qui se passe. L’équivalence repose en fait sur la notion suivante. 7 Une propriété P concernant les anneaux commutatifs et les modules est dite de caractère fini si elle est conservée par localisation (par passage de A à S −1 A) et si, lorsqu’elle est vérifiée avec S −1 A, alors elle est vérifiée avec A[1/s] pour un certain s ∈ S. 8 Soit P une propriété de caractère fini. Alors le principe local-global concret pour P est équivalent au principe de transfert pour P.

Rappelons aussi que l’annulateur d’un élément x d’un A-module M est l’idéal AnnA (x) = ( 0A : x ) = { a ∈ A | ax = 0 }. L’annulateur du module M est l’idéal AnnA (M ) = ( 0M : M )A . Un module est fidèle si son annulateur est réduit à 0. Les notations suivantes sont également utiles pour un sous-module N de M : (N : a)M = { x ∈ M | x a ⊆ N } . (N : a∞ )M = { x ∈ M | ∃n, x an ⊆ N } . Ce dernier module s’appelle le saturé de N par a. x 0 −→ A −→ M est exacte, autrement dit si Ann(x) = 0. Si 0A est non diviseur de zéro dans A, l’anneau est trivial.

N deux à deux comaximaux et a = i ai . n dans A telle que ai = a + 1 − ei et les π(ei ) forment un système fondamental d’idempotents orthogonaux de A/a (π est la projection canonique A → A/a). 6 (lemme des noyaux) Soit P = P1 · · · P ∈ A[X] et une application A-linéaire ϕ : M → M vérifiant P (ϕ) = 0. On suppose que les Pi sont deux à deux comaximaux. Notons Ki = Ker(Pi (ϕ)), Qi = j=i Pj . Alors on a : Ki = Im(Qi (ϕ)), M = K1 ⊕ · · · ⊕ K et Ki . Im(Pi (ϕ)) = Ker(Qi (ϕ)) = j=i On considère l’anneau B = A[X]/ P .

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by Kenneth
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