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By Stasys Jukna

ISBN-10: 3835102168

ISBN-13: 9783835102163

ISBN-10: 3835192140

ISBN-13: 9783835192140

Prof. Dr. Stasys Jukna, Universität Frankfurt/litauische Akademie der Wissenschaften

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Ein konstruktives Argument sollte genau sagen wo die Lucke fiir das weitere Paar Socken sein wird\ Man vergisst oft, die Induktionsbasis zu verifizieren. 6: Sei P{n) die Aussage »Vn G N : n = n + 1 « . Der Induktionsschritt P(n) ^ P ( n + 1 ) ist fiir alle n eine wahre Aussage, denn n = n-\-l -^ ( n + 1 ) = (n + l) + l gilt. Aber P(0) ist falsch, da 0 = 1 nicht gilt. Will man eine Aussage \/n>m: P{n) beweisen, so muss der Induktionsschritt n 1-^ n + 1 fiir alle n> m, also auch fiir n = m gelten.

Man nimmt ein beliebiges Element x' der Lange f{x') = n, manipuliert es, um ein ebenfalls »beliebiges« Element x der Lange f{x)=n-\-lzu erhalten, und weist anschliefiend die Implikation Q{x') -^ Q{x) nach. Ist das gelungen, so »folgert« man daraus, dass die Aussage Q{x) auch fiir alle Elemente x der Lange n -\- 1 gelten muss. ) Die Giiltigkeit von Q{x) fiir die konstruierten Elemente x garantiert aber alleine noch nicht, dass die Aussage Q{x) auch fiir alle Elemente x der Lange n-\-l gelten muss.

Unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung folgt >l+f 2^ Zahlen rr . •• ' 2^+1 ' ifo^+i = 1 + -2 + ... 3 Zur Erinnerung: p G N ist eine Primzahl genau dann, wenn p > 2 gilt und p nur durch 1 und p teilbar ist. Achtung: 1 ist also keine Primzahl! 4 Induktion: Beweis von Vx P{x) 39 Die letzte Summe besteht aus 2'^ Zahlen und die kleinste davon ist ^^. Somit tragt diese Summe mindestens 2'^ • ^^ = ^ bei, was die erwiinschte Ungleichung ^ n 1 ^ n-\-1 ergibt. Da 2^rp[ die grofite der letzten 2"^ Zahlen ist, gilt auch on 7^2^+1 < n + IH < n + 2 = (n + l) + l .

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by Ronald
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